Approche expérimentale : images à l'infini

Comportement de la fonction exponentielle en \(+\infty\)

On a vu précédemment que la fonction exponentielle est croissante, mais sa croissance est très rapide. Voici les images des réels \(x=7\) et \(x=14\) par la fonction exponentielle de base \(\text e\).

• \(\text e^7\approx1~096{,}6\)
  
• \(\text e^{14}\approx1~202~604{,}3\)
  

On pourrait vérifier également que les images dépassent n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, à partir d'un certain \(x\) dépendant du nombre choisi.
On conjecture que la fonction exponentielle tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
On dit que « la limite lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) de la fonction exponentielle de base \(\text{e}\) est \(+\infty\) » et on note \(\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\text e^x=+\infty}\).

Comportement de la fonction exponentielle en \(-\infty\)

On peut procéder de la même manière pour des nombres de plus en plus petits et regarder leurs images par la fonction exponentielle de base \(\text e\). Voici les images des réels \(x=-10\) et \(x=-50\) par la fonction exponentielle de base \(\text e\).

• \(\text e^{-10}\approx 0{,}0000454\) 
  
• \(\text e^{-50}\approx1{,}93\times10^{-22}\)
  

On pourrait vérifier également que les images sont de plus en plus proches de \(0\) lorsque \(x\) est choisi de plus en plus petit.
On conjecture que la fonction exponentielle tend vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers  \(-\infty\).
On dit que « la limite lorsque \(x\) tend vers \(-\infty\) de la fonction exponentielle de base \(\text{e}\) est \(0\) » et on note \(\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\text e^x=0}\).

Remarque

Ces conjectures se retrouvent en observant l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle de base \(\text e\).